Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

1. Что такое способности

5. Структура способностей

7. Педагогические способности

Заключение

Введение

Два ученика отвечают на уроке примерно одинаково. Однако педагог по-разному относится к их ответам: одного хвалит, другим недоволен. «У них разные способности, - объясняет он. Второй учащийся мог ответить несравненно лучше». Двое поступают в университет. Один выдерживает экзамены, другого постигает неудача. Свидетельствует ли это, что у одного из них больше способностей? На этот вопрос нельзя ответить, пока не будет выяснено, сколько времени затратил на подготовку каждый из абитуриентов. Одним лишь фактом успеха - приобретением знаний - способности не определяются.

Всякая деятельность требует от человека обладания специфическими качествами, определяющими его пригодность к ней и обеспечивающими определённый уровень успешности ее выполнения. В психологии эти индивидуально-психологические особенности называют способностями личности, причем выделяют только такие способности, которые, во-первых, имеют психологическую природу, во-вторых, индивидуально варьируют.

Исследованиями установлено, что способности - прижизненные образования, что их развитие идет в процессе индивидуальной жизни, что среда и воспитание активно формируют их.

1. Что такое способности

Способности - это такие психологические особенности человека, от которых зависит успешность приобретения знаний, умений, навыков, но которые сами к наличию этих знаний, навыков и умений не сводятся.

Термин «способность» употребляют в житейском обиходе очень широко; в психологической литературе им немало злоупотребляли. Так называемая психология способностей сильно дискредитировала это понятие. Надобие мольеровского ученого врача, который «объяснял» усыпляющее действие опиума тем, что опиум имеет «способность» усыплять, эта психология объясняла любое психическое явление тем, что приписывала человеку соответствующую «способность». Способности, таким образом, в ученом арсенале этой психологии служили нередко для того, чтобы избавиться от необходимости вскрывать закономерности протекания психических процессов. Поэтому современная научная психология выросла в значительной мере в борьбе против психологии способностей.

Всякая способность является способностью к чему-нибудь, и какой-то деятельности. Наличие у человека определенной способности означает пригодность его к определенной деятельности. Всякая более или менее специфическая деятельность требует от личности более или менее специфических качеств. Мы говорим об этих качествах как о способностях человека. Способность должна включать в себя необходимые в силу характера этой деятельности требований, которые она предъявляет.

Данные психологических исследований и педагогического опыта свидетельствует о том, что иногда человек, первоначально что-то не умевший и тем невыгодно отличающийся от окружающих, в результате обучения начинает чрезвычайно быстро овладевать навыками и умениями и вскоре обгоняет всех на пути к мастерству. У него проявляются большие, чем у других, способности.

Способности и знания, способности и умения, способности и навыки не тождественны друг к другу. По отношению к навыкам, умениям и знаниям способности человека выступают как некоторая возможность.

Способности - это возможность, а необходимый уровень мастерства в том или ином деле - это действительность. Выявившиеся у ребенка музыкальные способности ни в коей мере не являются гарантией того, что ребёнок будет музыкантом. Для того чтобы это произошло, необходимо специальное обучение, настойчивость, проявленная педагогом и ребенком, хорошее состояние здоровья, наличие музыкального инструмента, нот и многих других условий, без которых способности могут заглохнуть, так и не развившись.

Психология, отрицая тождество способностей и существенно важных компонентов деятельности - знаний, навыков и умений, подчеркивает их единство. Способности обнаруживаются только в деятельности, которая не может осуществиться без наличия этих способностей.

В чем же выражается единство способностей, с одной стороны, и умений, знаний, навыков, с другой? Способности обнаруживаются не в знаниях, умениях, навыках, как таковых, а в динамике их приобретения, то есть в том, насколько при прочих равных условиях быстро, глубоко, легко и прочно осуществляется процесс овладения знаниями и умениями, существенно важным для данной деятельности.

Глубокий анализ проблемы способностей был дан Б.М. Тепловым. Согласно развиваемой им концепции, врожденными могут быть анатомо-физиологические и функциональные особенности человека, создающие определенные предпосылки для развития способностей, называемое задатками. Задатки весьма многозначны, они лишь предпосылки развития способностей.

Различают способности: общие (они обеспечивают относительную легкость и продуктивность в овладевании и осуществлении различных видов деятельности); специальные способности (системы свойств личности, которые помогают достигнуть высоких результатов в какой-либо области деятельности).

Выделяют следующие уровни способностей:

1. репродуктивный (обеспечивает высокое умение усваивать знания, овладевать деятельностью).

2. творческий (обеспечивает создание нового, оригинального).

У одного и того же человека могут быть разные способности, но одна из них может быть более значительной, чем другая. С одной стороны, у разных людей наблюдаются одни и те же способности, но различающиеся между собой по уровню развития. С начала 20 века предпринимались попытки измерить способности. Для измерения способностей использовались тесты. Но более верный путь определения способностей - это выявление динамики успехов в процессе деятельности. Успешность выполнения любой деятельности определяется не какими-то отдельными способностями самими по себе, а лишь сочетаниями способностей, своеобразным у каждого человека.

Недостаточное развитие той или иной отдельной способности может быть компенсировано развитием других способностей, от которых также зависит успешное выполнение той же самой деятельности.

Совокупность познавательных процессов человека определяет его интеллект. «Интеллект - это глобальная способность разумно действовать, рационально мыслить и хорошо справляться с жизненными обстоятельствами », то есть интеллект рассматривают, как способность человека адаптироваться к окружающей среде.

Какова структура интеллекта? Существуют различные концепции, пытавшиеся ответить на этот вопрос. Так в начале 20 века Спирмен (1904г.) выделил генеральный фактор интеллекта (фактор G) и фактор S, служащий показателем специфических способностей. С точки зрения Спирмена, каждый человек характеризуется отдельным уровнем общего интеллекта, от которого зависит, как этот человек адаптируется к окружающей среде. Кроме того, у всех людей имеются в различной степени развитые специфические способности, проявляющиеся в решении конкретных задач.

Позже Тёрстоун (1938) с помощью статических методов исследовал различные стороны общего интеллекта, которые он назвал первичными умственными потенциями . Он выделил семь таких потенций:

1) счетную способность , то есть способность оперировать числами и выполнять арифметические действия;

2) вербальную(словесную) гибкость , то есть лёгкость, с которой человек может объясняться, используя наиболее подходящие слова;

3) вербальное восприятие , то есть способность понимать устную и письменную речь;

4) пространственную ориентацию , или способность представлять себе различные предметы и формы в пространстве;

5) память ;

6) способность к рассуждению ;

7) быстроту восприятия сходств или различий между предметами или изображениями.

Позже Гилфорд (1959) выделил до 120 факторов интеллекта, исходя из того, для каких умственных операций они нужны, и к каким результатам приводят эти операции и каково их содержание.

По мнению Кэттлера (1967г.), у каждого из нас уже с рождения имеется потенциальный интеллект, который лежит в основе способности к мышлению, абстрагированию и рассуждению. Примерно к 20 годам этот интеллект достигает наибольшего расцвета. С другой стороны, формируется «кристаллический» интеллект, состоящий из различных навыков и знаний, которые мы приобретаем по мере накопления жизненного опыта.

Способности имеют органические, наследственно закреплённые предпосылки для их развития в виде задатков. Для доказательства наследования способностей обычно указывают на существование семейств, в которых несколько поколений проявляли однородную по своей направленности одаренность. Так, в семье Иоганна Себастьяна Баха в пяти поколениях его предков, братьев и потомков насчитывается не менее 18 значительных музыкальных дарований, из них 11 приходится на его родственников по нисходящей линии, причем в семье было всего 10 мужчин, не обнаруживших музыкальных дарований.

Наследственность включается, конечно, в качестве одного из условий в развитие человека, но его способности являются не прямой функцией его наследственности. Во-первых, наследственное и приобретенное в конкретных особенностях личности образуют неразложимое единство; уже в силу этого нельзя относить какие-либо конкретные психические свойства личности за счет одной лишь наследственности. Во-вторых, наследственны могут быть не сами психические способности в их конкретном психологическом содержание, а лишь органические предпосылки их развития. Органические предпосылки развития способностей человека обусловливают, но не предопределяют одаренности человека и возможностей его развития.

2. Формирование и развитие способностей

Зависимость развития способностей от обучения.

Рассмотренное соотношение задатков и способностей показывает, что, хотя развитие способностей зависит от природных предпосылок, которые далеко не одинаковы у разных людей, однако способности не столько дар природы, сколько продукт человеческой истории. Появление способностей находится в прямой зависимости от конкретных приемов (методики) формирования соответствующих знаний и умений, которые исторически вырабатываются людьми в ходе удовлетворения потребностей общества.

Есть основание считать, что едва ли не решающим фактором, от которого зависит, обнаружит ли человек способности к данной деятельности или нет, является методика обучения. Как правило, о врожденности способностей речь заходит всякий раз тогда, когда методика обучения обнаруживает свою несостоятельность и беспомощность. Разумеется, методика будет совершенствоваться, и потому круг «врожденных» способностей неизбежно будет все больше и больше сужаться. И можно предположить, что в конце концов такие особые «высшие» способности, как поэтические, музыкальные, артистические, конструкторские, педагогические, организаторские и прочие, ожидает судьба «грамматических» и «арифметических» способностей. В этом направлении ведутся эксперименты многих психологов.

Существенно важный фактор развития способностей человека - устойчивые специальные интересы.

Специальный интерес - это интерес к содержанию определенной области человеческой деятельности, который перерастает в склонность профессионально заниматься этим родом деятельности.

Подмечено, что возникновение интереса к той или иной трудовой или учебной деятельности тесно связано с пробуждением способности к ней и служит отправной точкой для их развития. «Наши желания, - по словам Гёте,- предчувствия скрытых в нас способностей, предвестники того, что мы в состоянии будем совершить».

Педагогически важным является такое отношение воспитателей к сфере интересов подростков или юношей, которое предполагает углубление и расширение их познавательных потребностей.

Конечно, оптимально такое положение вещей, при котором школьник очень рано обнаруживает соответствующие способности, позволяющие ему безошибочно определить свое призвание.

При развитии способностей в процессе деятельности существенную роль играет своеобразная диалектика между способностями и умениями. Способности и умения, совершенно очевидно, не тождественны, но они всё же теснейшим образом связаны; притом связь эта взаимная.

Способность закрепляется в личности как более или менее прочное достояние, но она исходит из требований деятельности и, будучи способностью к деятельности, она в деятельности и формируется.

Способности квалифицируют личность как субъекта деятельности: будучи принадлежностью личности, способность, конечно сохраняется за личностью как потенция и в тот момент, когда она не действует. В итоге способность - это сложная синтетическая особенность личности, которая определяет её пригодность к деятельности. Более или менее специфические качества, которые требуются для определенной деятельности, лишь в деятельности и через посредство её могут сформироваться на базе тех или иных задатков.

Человеческие способности, отличающие человека от других живых существ, составляют его природу, но сама природа человека - продукт истории. Интеллектуальные способности формировались по мере того, как изменяя природу, человек познавал её; художественные - изобразительные, музыкальные и прочие - формировались вместе с развитием различных видов искусств.

С расширением сфер трудовой деятельности и появлением все новых видов её у человека формировались новые способности. Человеческие способности и их структура зависят от исторически изменяющихся форм разделения труда.

3. Развитие способностей у детей

Развитие способностей у детей совершается в процессе воспитания и обучения. Способности ребёнка формируются посредствам овладения в процессе обучения содержанием материальной и духовной культуры, техники, науки, искусства. Исходной предпосылкой для этого развития способностей служат врождённые задатки.

Уже самые первые проявления задатков превращают их в элементарные, начинающие складываться способности. Вместе с тем каждая начинающаяся складываться способность является как бы задатком для дальнейшего развития способностей. Каждая способность, проявляясь, вместе с тем развивается, переходит на высшую ступень, а переход её на высшую ступень открывает возможности для новых более высоких её проявлений.

В результате индивидуального жизненного пути у человека формируются - на основе задатков - индивидуально своеобразный склад способностей.

В основе одинаковых или в чем- то сходных достижений

При выполнении какой- либо деятельности могут лежать сочетания весьма различных способностей. Это открывает перед нами важную сторону способностей личности: широкие возможности компенсации одних свойств другими, которые человек развивает у себя, трудясь упорно и настойчиво.

Компенсаторные возможности способностей человека выявляются, например, специальным воспитанием людей, лишённых зрения и слуха.

Свойство компенсации одних способностей при помощи развития других открывает неисчерпаемые возможности перед каждым человеком, раздвигая границы выбора профессии и совершенствования в ней.

Важным условием развития способностей следует считать формирование настойчивости, умение максимально напрячься в деле достижения цели. Способности развиваются тем успешнее, чем чаще в своей деятельности человек добирается до предела своих возможностей и постепенно поднимает этот потолок все выше и выше. Неотъемлемый компонент способностей - повышенная мотивация. Она обеспечивает интенсивную и в то же время естественно организующуюся деятельность, необходимую для развития способностей.

Рассматривая условия успешного развития способностей в деятельности, можно в качестве основного раннее начало. Первые толчки к развитию способностей начинаются с раннего плавания, ранней гимнастики, раннего хождения или ползания, то есть с очень раннего физического развития. Да и раннее чтение, ранний счет, раннее знакомство и работа со всякими инструментами и материалами тоже дают толчки к развитию способностей.

С.Л. Рубинштейн сформулировал основное правило развития способностей человека: «Развитие способностей совершается по спирали: реализация возможности, которая представляет собой способность одного уровня, открывает новые возможности для дальнейшего развития способностей более высокого уровня. Одаренность человека определяется диагнозом новых возможностей, которые открывает реализация наличных возможностей».

4. Характеристика способностей

Говоря о способностях необходимо охарактеризовать их качественные и количественные способности. Для педагога в равной мере важно знать, и к чему обнаруживает способности ученик, а следовательно, какие индивидуально - психологические особенности его личности вовлекаются в процесс деятельности как обязательное условие её успешности (качественная характеристика способностей), и в какой мере способен ученик выполнять требования, предъявляемые деятельностью, насколько быстрее, легче и основательнее он овладевает навыками, умениями и знаниям по сравнению с другими (количественная характеристика способностей).

Качественная характеристика способностей

Рассматриваемые со стороны качественных особенностей способности выступают как сложный комплекс психологических свойств человека, обеспечивающий успех деятельности, как набор «переменных величин», позволяющий идти к цели разными путями. Покажем это на примере развития и воспитания некоторых видов способностей.

В основе одинаковых или в чем-то сходных достижений при выполнении какой-либо деятельности могут лежать сочетания весьма различных способностей. Это открывает перед нами важную сторону способностей личности: широкие возможности компенсации одних свойств другими, которые человек развивает у себя, трудясь упорно и настойчиво.

Компенсаторные возможности способностей человека выявляются, например, специальным воспитанием людей, лишенных зрения и слуха.

В целом качественная характеристика способностей позволяет ответить на вопрос, в какой сфере трудовой деятельности (конструкторской, педагогической, экономической, спортивной, и других) человеку легче найти себя, обнаружить большие успехи и достижения. Таким образом, качественная характеристика способностей неразрывно связана с характеристикой количественной. Выяснив, какие конкретно-психологические качества отвечают требованиям данной деятельности, можно ответить на вопрос, в большей или меньшей степени они развиты у человека по сравнению с его товарищами по работе или учёбе.

Количественная характеристика способностей.

Проблема количественных измерений способностей имеет большую историю в психологии. Еще в конце 19 - начале 20 века ряд психологов (Кеттел, Термен, Спирмен и другие) под влиянием требований, вызванных необходимостью осуществлять профессиональный отбор для массовых специальностей, выступили с предложением выявлять уровень способностей обучающихся. Тем самым предполагалось, что будет установлено ранговое место личности и её пригодность к той или иной трудовой деятельности, к обучению в высших учебных заведениях, к получению командных постов в производстве, армии и общественной жизни.

В качестве способа измерения способностей тогда же стали использоваться тесты умственной одаренности. С их помощью в ряде стран (США, Великобритания и других) осуществляется определение способностей, производится сортировка учащихся в школах, замещение офицерских постов в армии, руководящих должностей в промышленности.

Обычно тесты сводятся в батарею тестов, нарастающих по сложности. Среди тестов могут быть не только словесные испытания, но и всевозможные «лабиринты», «головоломки» и т.д.

После того как дети закончили решать батарею тестов, результаты подсчитывают стандартизированным путем, то есть подсчитывают количество очков, которое набрал каждый испытуемый. Это даёт возможность определить так называемый коэффициент умственной одаренности (IQ). При определении исходят из того, к примеру, что средняя сумма очков для детей одиннадцати с половиной лет должна приближаться к 120. Отсюда делается вывод, что любой ребёнок, набравший 120 очков, имеет умственный возраст одиннадцати с половиной лет.

Если бы, например, в результате тестирования одну и ту же сумму очков (120) набрали два ребенка (десяти с половиной и четырнадцати лет) и, таким образом, умственный возраст каждого был бы приравнен к одиннадцати с половиной годам. В таком случае коэффициент умственной одарённости первого ребенка был бы равен 109,5, второго - 82,1.

Коэффициент умственной одаренности выявляет количественную характеристику способностей, якобы некую неизменную, всестороннюю умственную одаренность, или общий интеллект. Однако научный психологический анализ обнаруживает, что этот коэффициент умственной одаренности является фиксацией. В действительности описанная выше сумма приемов выявляет не интеллектуальные способности человека, а наличие у него тех или иных сведений, умений и навыков, с которыми не следует смешивать способности. Динамика приобретения знаний и навыков, составляющая сущность способностей, остаётся при этом невыявленной.

Из этого не следует, что количественная характеристика и измерение способностей невозможны и что использование различных диагностических тестов заведомо нежелательно.

Критикуя использование тестов умственной одаренности, выдающийся психолог Л.С. Выготский указывал, что если ребенок не решает предложенной ему задачи, то этот факт сам по себе еще ничего не говорит о его способностях. Это может свидетельствовать, например, и о том, что ребенок не имеет соответствующих знаний и умений и поэтому не может найти нужное решение самостоятельно.

Однако умственное развитие ребенка происходит не само собой, а в процессе обучения, то есть в постоянном общении со взрослыми. Поэтому то, что ребенок пока еще не может сделать сам, он может сделать с помощью взрослого. А, следовательно, завтра он сумеет научиться работать самостоятельно. Исходя из этого, Л.С. Выготский предложил не ограничиваться простым однократным исследованием, а производить исследование дважды. Первый раз выясняя, как ребенок решает задачу самостоятельно, а второй - как решает с помощью взрослого. Расхождение между результатами самостоятельного решения и решения с помощью взрослого становится важной составной частью общей оценки способностей ребенка. И если ребенок не сумеет решить задачу, посильную для его сверстников, ни самостоятельно, ни с помощью взрослых, тогда есть основания говорить о недостаточно высоком уровне его способностей. Описанный выше путь выявления уровня способностей был обозначен Л.С. Выготским, как метод определения зоны ближайшего развития.

Итак, способности не существуют вне конкретной деятельности человека, а формирование их происходит в процессе обучения и воспитания. Самый верный путь определения способностей - это выявление динамики успехов ребенка в процессе обучения.

5. Структура способностей

Структура совокупности психических качеств, которая выступает как способность, в конечном счете, определяется требованиями конкретной деятельности и является различной для разных видов деятельности.

Так, структура математических способностей, по имеющимся данным, включает ряд частных способностей: способность к обобщению математического материала, способность к свертыванию процесса математического рассуждения и соответствующих математических действий (многозвеньевая последовательность рассуждений заменяется короткой связью, вплоть до почти непосредственной связи между восприятием задачи и её результатом), способность обратимости мыслительного процесса (то есть способность к легкому переходу от прямого к обратному движению мысли), гибкость мыслительных процессов при решении математических задач. Структура литературных способностей предполагает высокий уровень развития эстетических чувств, наличие ярких наглядных образов памяти, чувство языка, богатую фантазию, глубокий интерес к психологии людей, потребность в самовыражении. Специфический характер имеет строение музыкальных, педагогических, конструкторских, медицинских способностей и многих других. Даже если принимать во внимание широкие возможности компенсации и замены одних компонентов другими, знание специфической структуры профессиональных или специальных способностей чрезвычайно важно для педагога, призванного учитывать способности в процессе обучения и в случаях их отсутствия или недостаточной выраженности формировать необходимые качества личности ребенка.

Среди свойств и особенностей личности, образующих структуру конкретных способностей, некоторые занимают ведущее положение, некоторые - вспомогательное. Так, в структуре педагогических способностей ведущими качествами будут педагогический такт, наблюдательность, любовь к детям, сочетаемая с высокой требовательностью к ним, потребность к передаче знаний, комплекс организаторских способностей, входящих сюда на правах подструктуры, и т.д. К вспомогательным качествам относятся: артистичность, ораторские данные. Совершенно очевидно, что и ведущие, и вспомогательные компоненты педагогических способностей образуют единство, обеспечивающее успешность обучения и воспитания и вместе с тем его индивидуализацию, связанную педагога и её особенностями.

Изучая конкретно-психологическую характеристику различных способностей, мы можем выделить общие качества, которые отвечают требованиям не одной, а многим видам деятельности. В структуре способностей некоторых индивидов эти общие качества могут быть исключительно ярко выражены, что даёт возможность говорить о наличии у людей разносторонних способностей, об общих способностях к широкому спектру различных деятельностей, специальностей и занятий. Эти общие способности или качества не должны противопоставляться специальным способностям или качествам личности.

6. Математические способности школьников

Исследование математических способностей в зарубежной психологии.

В исследование математических способностей внесли свой вклад и такие яркие представители определенных направлений в психологии, как А. Бинэ, Э. Трондайк и Г. Ревеш, и такие выдающиеся математики, как А. Пуанкаре и Ж. Адамар.

Большое разнообразие направлений определило и большое разнообразие в подходе к исследованию математических способностей, в методических средствах и теоретических обобщениях.

Единственное, в чем сходятся все исследователи, это, пожалуй, мнение о том, что следует различать обычные, «школьные» способности к усвоению математических знаний, к их репродуцированию и самостоятельному применению и творческие математические способности, связанные с самостоятельным созданием оригинального и имеющего общественную ценность продукта.

Большое единство взглядов проявляют зарубежные исследователи по вопросу о врожденности или приобретенности математических способностей. Если и здесь различать два разных аспекта этих способностей - «школьные» и творческие способности, то в отношении вторых существует полное единство - творческие способности ученого-математика являются врожденным образованием, благоприятная среда необходима только для их проявления и развития. В отношении «школьных» (учебных) способностей зарубежные психологи высказываются не столь единодушно. Здесь, пожалуй, доминирует теория параллельного действия двух факторов - биологического потенциала и среды.

Основным вопросом в исследовании математических способностей (как учебных, так и творческих) за рубежом был и остается вопрос о сущности этого сложного психологического образования. В этом плане можно выделить три важные проблемы.

1. Проблема специфичности математических способностей. Существуют ли собственно математические способности как специфическое образование, отличное от категории общего интеллекта? Или математические способности есть качественная специализация общих психических процессов и свойств личности, то есть общие интеллектуальные способности, развитые применительно к математической деятельности? Иначе говоря, можно ли утверждать, что математическая одаренность - это не что иное, как общий интеллект плюс интерес к математике и склонность заниматься ею?

2. Проблема структурности математических способностей. Является ли математическая одаренность унитарным (единым неразложимым) или интегральным (сложным) свойством? В последнем случае можно ставить вопрос о структуре математических способностей, о компонентах этого сложного психического образования.

3. Проблема типологических различий в математических способностях. Существуют ли различные типы математической одаренности или при одной и той же основе имеют место различия только в интересах и склонностях к тем или иным разделам математики?

7. Педагогические способности

Педагогическим способностями называют совокупность индивидуально-психологических особенностей личности учителя, отвечающих требованиям педагогической деятельности и определяющих успех в овладении этой деятельностью. Отличие педагогических способностей от педагогических умений заключается в том, что педагогические способности - это особенности личности, а педагогические умения - это отдельные акты педагогической деятельности, осуществляемые человеком на высоком уровне.

Каждая способность имеет свою структуру, в ней различают ведущие и вспомогательные свойства.

Ведущими свойствами в педагогических способностях являются:

педагогический такт;

наблюдательность;

любовь к детям;

потребность в передаче знаний.

Педагогический такт - это соблюдение педагогом принципа меры в общении с детьми в самых разнообразных сферах деятельности, умение выбрать правильный подход к учащимся.

Педагогический такт предполагает:

· уважение к школьнику и требовательность к нему;

· развитие самостоятельности учащихся во всех видах деятельности и твердое педагогическое руководство их работой;

· внимательность к психическому состоянию школьника и разумность и последовательность требований к нему;

· доверие к учащимся и систематическая проверка их учебной работы;

· педагогически оправданное сочетание делового и эмоционального характера отношений с учениками и др.

Педагогическая наблюдательность - это способность учителя, проявляемая в умении подмечать существенные, характерные, даже малозаметные свойства учащихся. По-другому можно сказать, что педагогическая наблюдательность - это качество личности педагога, заключающееся в высоком уровне развития способности концентрации внимания на том или ином объекте педагогического процесса.

способность математический педагогический

Заключение

По отношению к навыкам, умениям и знаниям человека способности выступают как некоторая возможность. Здесь можно провести аналогию с брошенным в землю зерном, превращение которого в колос возможно лишь при многих условиях, благоприятствующих его развитию. Способности - лишь возможность определенного освоения знаний, умений и навыков, а станет ли она действительностью, зависит от различных условий. Так, например, выявившиеся у ребенка математические способности ни в коей мере не являются гарантией того, что ребенок станет великим математиком. Без соответствующих условий способности заглохнут, так и не развившись. Неизвестно, сколько гениев так и не было признано обществом.

Однако знания, умения и навыки остаются внешними по отношению к способностям только до тех пор, пока они не освоены. Обнаруживаясь в деятельности по мере ее освоения личностью, способности развиваются дальше, формируя в деятельности свою структуру и своеобразие. Математические способности человека никак не обнаружатся, если он никогда не учил математики: их можно установить только в процессе усвоения им чисел, правил действий над ними, решения задач.

Природа человеческих способностей до сих пор вызывает достаточно бурные споры среди ученых. Одна из господствующих точек зрения, ведущая свою историю еще от Платона, утверждает, что способности биологически обусловлены и их проявление целиком зависит от унаследованного фонда. Обучение и воспитание может лишь изменять скорость их появления, но они всегда проявляются тем или иным образом.

Список используемой литературы:

1. А.В. Петровский; М.Г. Ярошевский «Психология».

2. С.Л. Рубинштейн «Основы общей психологии»

3. Л.Д. Столяренко «Основы психологии»

4. Е.И. Рогов «Общая психология» (курс лекций)

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Природа человеческих способностей, их классификация и структура. Зависимость развития способностей от обучения, условия их формирования и развития. Качественные и количественные характеристики способностей человека. Коэффициент умственной одаренности.

курсовая работа , добавлен 09.11.2010


Понятие творческих способностей и подходы к их развитию в психолого-педагогической литературе. Развитие творческих способностей младших школьников в процессе трудового обучения. Диагностика творческих способностей. Формирующий этап и его результаты.

курсовая работа , добавлен 01.12.2007


Формирование сенсорных способностей ребенка, приемов логического мышления, мнемических способностей и воображения. Развитие творческих способностей и навыков в учебной деятельности. Формирование навыка чтения, связной речи и математических способностей.

курсовая работа , добавлен 18.02.2010


Проблема исследования способностей в психологии и педагогике. Способности и одаренность на примере математики в русле компетентностного подхода. Понятие знаний, умений, навыков, их сходство и различие. Многократные повторения определенных действий.

курсовая работа , добавлен 26.10.2013


Способности, как индивидуально-психологические и двигательные особенности индивида, этапы их формирования. Сенсомоторные, перцептивные, мнемонические, мыслительные, коммуникативные способности. Механизм развития творческих способностей младших школьников.

реферат , добавлен 21.10.2013


Общая характеристика способностей, их классификация. Развитие способностей, их исследование и измерение. Интеллектуальные способности: конвергентные и дивергентные. Проблемы в изучении интеллектуальных способностей. Обучаемость, познавательные стили.

реферат , добавлен 23.04.2010


Психологическая сущность творческих способностей. Психолого-педагогическая характеристика младших школьников. Характеристика форм, методов и программы развития творческих способностей в работе психолога. Диагностика данной категории у школьников.

дипломная работа , добавлен 24.01.2018


Общая характеристика способностей. Их классификация, особенности природных и специфических человеческих способностей. Понятие задатков, их отличия. Взаимосвязь способности и одаренности. Сущность таланта и гениальности. Природа человеческих способностей.

реферат , добавлен 01.12.2010


Сущность понятия "способности". Вклад Б.М. Теплова в разработку общей теории способностей. Изучение способностей как важный раздел дифференциальной психологии. Типологические свойства и возрастное развитие. Умственные способности в среднем возрасте.

реферат , добавлен 29.03.2011


Исторический анализ изучения способностей в зарубежной и отечественной психологии. Предпосылки развития специальных способностей школьников. Рассмотрение психологической структуры математического мышления и спортивной деятельности мальчиков и девочек.

Часть I
ИНДИВИДУАЛЬНО-ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ЛИЧНОСТИ

В.А. Крутецкий. Математические способности и личность

Прежде всего следует отметить характеризующее способных математиков и совершенно необходимое для успешной деятельности в области математики «единство склонностей и способностей в призвании», выражающееся в избирательно-положительном отношении к математике, наличии глубоких и действенных интересов в соответствующей области, стремлении и потребности заниматься ею, страстной увлеченности делом. Нельзя стать творческим работником в области математики, не переживая увлеченности этой работой, - она порождает стремление к поискам, мобилизует трудоспособность, активность. Без склонности к математике не может быть подлинных способностей к ней. Если ученик не чувствует никакой склонности к математике, то даже хорошие способности вряд ли обеспечат вполне успешное овладение математикой. Роль, которую здесь играют склонность, интерес, сводится к тому, что интересующийся математикой человек усиленно занимается ею, а следовательно, энергично упражняет и развивает свои способности . На это указывают постоянно сами математики, об этом свидетельствуют вся их жизнь и творчество...

Составленные нами характеристики одаренных учащихся ярко свидетельствуют о том, что способности действенно развиваются только при наличии склонностей или даже своеобразной потребности в математической деятельности (в относительно элементарных ее формах). Все без исключения наблюдаемые нами дети обладали обостренным интересом к математике, склонностью заниматься ею, ненасытным стремлением к приобретению знаний по математике, решению задач.

Еще одна черта характера свойственна подлинному ученому - критическое отношение к себе, своим возможностям, своим достижениям, скромность, правильное отношение к своим способностям. Надо иметь в виду, что при неправильном отношении к способному школьнику - захваливании его, чрезмерном преувеличении его достижений, афишировании его способностей, подчеркивании его превосходства над другими - очень легко внушить ему веру в свою избранность, исключительность, заразить его «стойким вирусом зазнайства».

И наконец, последнее. Математическое развитие человека невозможно без повышения уровня его общей культуры. Нужно всегда стремиться к всестороннему, гармоничному развитию личности. Своеобразный «нигилизм» ко всему, кроме математики, резко одностороннее, «однобокое» развитие способностей не могут способствовать успешности в математической деятельности.

Анализируя схему структуры математической одаренности, мы можем заметить, что определенные моменты в характеристике перцептивной, интеллектуальной и мнемической сторон математической деятельности имеют общее значение... Поэтому развернутую схему структуры можно представить и в иной, чрезвычайно сжатой формуле: математическая одаренность характеризуется обобщенным, свернутым и гибким мышлением в сфере математических отношений, числовой и знаковой символики и математическим складом ума. Эта особенность математического мышления приводит к увеличению скорости переработки математической информации (что связано с заменой большого объема информации малым объемом - за счет обобщения и свертывания) и, следовательно, экономии нервио-психических сил... Указанные способности в разной степени выражены у способных, средних и неспособных учеников. У способных при некоторых условиях такие ассоциации образуются «с места», при минимальном количестве упражнений. У неспособных же они образуются с чрезвычайным трудом. Для средних же учащихся необходимым условием постепенного образования таких ассоциаций является системе специально организованных упражнений, тренировка.

СПЕЦИФИЧНОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ

Возникает вопрос: в какой степени выделенные нами компоненты являются специфически математическими способностями?

Рассмотрим с этой точки зрения одну из основных способностей, выделенных нами в структуре математической одаренности, - способность к обобщению математических объектов, отношений и действий. Разумеется, способность к обобщению - по природе своей общая способность и обычно характеризует общее свойство обучаемости.

Но речь-то идет в данном случае не о способности к обобщению, а о способности к обобщению количественных и пространственных отношений, выраженных в числовой и знаковой символике.

Чем можно аргументировать нашу точку зрения, заключающуюся в том, что способность к обобщению математического материала есть специфическая способность?

Во-первых, тем, что эта способность проявляется в специфической сфере и может не коррелировать с проивлением соответствующей способности в других областях... Иными словами, человек; талантливый вообще, может быть бездарным в математике. Д.И. Менделеев в школе отличался большими успехами в области математики и физики и получал нули н единицы по языковым предметам. А.С. Пушкин, судя по биографическим данным, учась в лицее, пролил много слез над математикой, приложил много трудов, но «успехов приметных не оказал».

Правда, есть немало случаев и сочетания математической и, например, литературной одаренности. Математик С. Ковалевская была талантливой писательницей, ее литературные произведения оценивались весьма высоко. Известный математик XIX в В.Я. Буняковский был поэтом. Английский профессор математики Ч.Л. Доджсон (XIX в.) был талантливым детским писателем, написал под псевдонимом Льюиса Кэррола известную книгу «Алиса в стране чудес». С другой стороны, поэт В.Г. Бенедиктов написал популярную книгу по арифметике. А.С. Грибоедов успешно учился на математическом факультете университета. Известный драматург А.В. Сухово-Кобылин получил математическое образование в Московском университете, проявлял большие способности к математике и за работу «Теория цепной линии» получил золотую медаль. Серьезно интересовался математикой Н.В. Гоголь. М.Ю. Лермонтов очень любил решать математические задачи. Серьезно занимался методикой преподавания арифметики Л.Н. Толстой.

Во-вторых, можно указать на целый ряд зарубежных исследований, которые показали (правда, основываясь только на тестовой методике и корреляционном и факторном анализе) слабую корреляцию между показателем интеллекта (известно, что способность к обобщению - одна из важнейших характеристик общего интеллекта) и тестами на достижения в математике.

В-третьих, для обоснования нашей точки зрения можно сослаться на учебные показатели (оценки) детей в школе. Многие учителя указывают, что способность к быстрому и глубокому обобщению может проявляться в каком-нибудь одном предмете, не характеризуя учебной деятельности школьника по другим предметам. Некоторые из наших испытуемых, проявляющих, например, способность к обобщению «с места» в области математики, не обладали этой способностью в области литературы, истории или географии. Имели место и обратные случаи: учащиеся, хорошо и быстро обобщающие и систематизирующие материал по литературе, истории или биологии, не проявляли подобной способности , в области математики.

Все сказанное выше позволяет нам сформулировать положение о специфичности математических способностей в следующем виде., - Те или иные особенности, умственной деятельности школьника могут характеризовать только его математическую деятельность, проявляться только в сфере пространственных и количественных отношений, выраженных средствами числовой и знаковой символики, и не характеризовать других видов его деятельности, не коррелировать с соответствующими проявлениями в других областях. Таким образом, общие по своей природе умственные способности (например, способность к обобщению) могут в ряд случаев выступать как специфические способности (способность к обобщению математических объектов, отношений и действий).

Мир математики - мир количественных и пространственных отношений, выраженных посредством числовой и знаковой символики, очень специфичен и своеобразен. Математик имеет дело с условными символическими обозначениями пространственных и количественных отношений, мыслит ими, комбинирует, оперирует ими. И в этом очень своеобразном мире, в процессе весьма специфической деятельности общая способность так преобразуется, так трансформируется, что, оставаясь общей по своей природе, выступает уже как специфическая способность.

Разумеется, наличие специфических проявлений общей способности никак не исключает возможности других проявлений этой же общей способности (как наличие у человека способностей к математике не исключает наличия у него же способностей и в других областях).

НЕКОТОРЫЕ СООБРАЖЕНИЯ О ПРИРОДЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ

Материалы нашего исследования - анализ многочисленной литературы, анализ случаев чрезвычайно высокой математической одаренности в детском и зрелом возрасте (последнее - по биографическим материалам) - позволяют выделить некоторые факты, представляющие особый интерес для постановки вопроса о природе математической одаренности. Эти факты таковы:

1. часто (хотя и не обязательное) весьма раннее формирование способностей к математике, нередко в неблагоприятных условиях (например, при явном противодействии родителей, опасающихся столь раннего яркого проявления способностей) и при отсутствии на первых порах систематического и целенаправленного обучения;
2. острый интерес и склонность к занятиям математикой, также часто проявляющиеся в раннем возрасте;
3. большая (а часто избирательная) работоспособность в области математики, связанная с относительно малой утомляемостью в процессе напряженных занятий математикой;
4. характеризующая очень способных к математике людей математическая направленность сума как своеобразная тенденция воспринимать многие явления через призму математических отношений, осознавать их в плане математических категорий.

Все это позволяет выдвинуть гипотезу о роли прирожденных функциональных особенностей мозга в случаях особой (подчеркиваем это!) математической одаренности - мозг некоторых людей своеобразно ориентирован (настроен) на выделение из окружающего мира раздражителей типа пространственных и числовых отношений и символов и на оптимальную работу именно с такого рода раздражителями. В ответ на раздражители, имеющие математическую характеристику, связи образуются относительно быстро, легко, с меньшими усилиями и меньшей затратой сил. Аналогично неспособность к математике (имеются в виду также крайние случаи) имеет своей первопричиной большую затрудненность выделения мозгом раздражителей типа математических обобщенных отношений, функциональных зависимостей, числовых абстрактов и символов и затрудненность операций с ними. Иными словами, некоторые люди обладают такими прирожденными характеристиками строения и функциональных особенностей мозга, которые крайне благоприятствуют (или, наоборот, весьма не благоприятствуют) развитию математических способностей.

И на сакраментальный вопрос; «Математиком можно стать или им нужно родиться?» - мы гипотетически ответили бы так: «Обычным математиком можно стать; выдающимся, талантливым математиком нужно и родиться». Впрочем, здесь мы не оригинальны, - многие выдающиеся ученые утверждают это же. Мы уже приводили слова академика А.Н. Колмогорова: «Талант , одаренность... в области математики... даны от природы не всем». О том же говорит и академик И.Е. Тамм: «Творить новое... под силу только специально одаренным людям» (речь идет о научном творчестве высокого уровня. - В.К.). Все это сказано пока лишь в порядке гипотезы.

Выяснение физиологической природы математических способностей является важной задачей дальнейших исследований в этой области. Современный уровень развития психологии и физиологии вполне позволяет поставить вопрос о физиологической природе и физиологических механизмах некоторых специфических способностей человека.

Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М., 1968, с.380-390, 397-400

Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. - М., 1968. - 432с.
В книге обобщаются многолетние теоретические и экспериментальные исследования автора по проблеме математических способностей школьников. В советской психологической литературе это первый опыт монографического изложения вопросов математических способностей школьников. В ней излагаются вопросы сущности математических способностей школьников, возрастной динамики их развития а также некоторые вопросы типологии. Помимо богатого экспериментального материала, автор широко использовал материал о развитии одаренных в области математики детей, результаты анкетных опросов ряда советских ученых-математиков и учителей математики, анализ биографий выдающихся математиков.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.............3
РАЗДЕЛ I. Состояние проблемы и задачи исследования.... 3
Глава I. Теоретическое и практическое значение проблемы математических способностей на современном этапе развития советской науки и школы. . . . . . .
Глава II. Проблема математических способностей в зарубежной психологии............10
§ 1. Развитие исследований по психологии способностей за рубежом..............10
§ 2. Исследование математических способностей в зарубежной психологии..............25
Глава III. Проблема математических способностей в русской дореволюционной и советской психологической литературе..............571
Глава IV. Постановка проблемы и задачи исследования. . 72
§ 1. Некоторые вопросы общей теории способностей..... 721
§ 2. Основные понятия............82
§ 3. Проблема и задачи исследования........91
РАЗДЕЛ II. Методика исследования и его организация..... 96
Глава I. Общая методика и организация исследования. . 96
Глава II. Гипотеза компонентов математических способностей как основа экспериментального исследования..... 99
Глава III. Методика экспериментального исследования. . . 101
Глава IV. Система экспериментальных задач по исследованию математических способностей школьников. . . .115
Глава V. Организация экспериментального исследования. . 195
РАЗДЕЛ III. Анализ структуры математических способностей школьников..............201
Глава I. Анализ неэкспериментальных материалов о компонентах структуры математических способностей школьников.............203
Глава II. Анализ индивидуальных случаев математической одаренности детей........... 211

Глава III. Особенности получения информации о задаче (первичной ориентировки в ней) способными к математике школьниками............246
Глава IV. Особенности переработки полученной информации в процессе решения задач способными к математике школьниками............260
§ 1. Способность к обобщению математических объектов, отношений и действий...........260
§ 2. Способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий... 291
§ 3. Гибкость мыслительных процессов.......304
§ 4. Стремление к ясности, простоте и экономности («изяществу») решения............313
§ 5. Обратимость мыслительного процесса в математическом рассуждении (способность к быстрому и свободному переключению с прямого на обратный ход мысли) . . . 316
§ 6. Гипотеза об акцепторе математического действия. . 321
Глава V. Особенности хранения математической информации (математического материала) способными к математике школьниками..........325
Глава VI. Некоторые специальные вопросы структуры математических способностей школьников......332
§ 1. Математическая направленность ума......332
§ 2. Проблема внезапного решения («озарения», инсайта) в свете анализа компонентов математических способностей..... 335
§ 3. Малая утомляемость способных школьников в процессе длительной и напряженной математической деятельности 341
Глава VII. Типовые, возрастные и половые различия в характеристиках компонентов математических способностей. 343
§ 1. Типы структур (математических складов ума) .... 343
§ 2. Возрастная динамика развития структуры математических способностей............. 362
§ 3. О половых различиях в характеристике математических способностей............. 375
Глава VIII. Математические способности и личность.... 378
Глава IX. Общие вопросы структуры математических способностей..............385
§ 1. Общая схема структуры. Взаимоотношение компонентов 385
§ 2. Специфичность математических способностей.... 388
§ 3. Некоторые соображения о природе математических способностей..............398
Литература...............401

Бийский Педагогический Государственный Университет им. Шукшина В. М.

КУРСОВАЯ РАБОТА

ТЕМА: Психология математических способностей.

Выполнил:

студент ФМФ III курса, гр. 191

Заиграев Александр Сергеевич

Научный руководитель:

Вольф Надежда Тимофеевна

Бийск, 2001г.

Что такое способности?

Способности - индивидуально выраженные возможности к успешному осуществлению той или иной деятельности. Включают в себя как отдельные знания, умения навыки, так и готовность к обучению новым способам и приемам деятельности. Для классификации способностей используются разные критерии. Так, могут быть выделены сенсомоторные, перцептивные, мнемические, имажинативные, мыслительные, коммуникативные способности. В качестве другого критерия может выступать та или иная предметная область, в соответствии с чем способности могут быть квалифицированы как научные (математические, лингвистические, гуманитарные); творческие (музыкальные, литературные, художественные); инженерные.

Кратко сформулируем несколько положений общей теории способностей:

1. Способности – это всегда способности к определенному роду деятельности , они существуют только в соответствующей конкретной деятельности человека. Поэтому они и выявлены могут быть лишь на основе анализа конкретной деятельности. Соответственно этому и математические способности существуют только в математической деятельности и в ней должны выявляться.

2. Способности – понятие динамическое. Они не только проявляются и существуют в деятельности, они в деятельности создаются, в деятельности и развиваются. Соответственно этому и математические способности существуют только в динамике, в развитии, они формируются, развиваются в математической деятельности.

3. В отдельные периоды развития человека возникают наиболее благоприятные условия для становления и развития отдельных видов способностей и некоторые из этих условий имеют временный, преходящий характер. Такие возрастные периоды, когда условия для развития тех или иных способностей будут наиболее оптимальными, называются сензитивными (Л. С. Выготский, А. Н. Леонтьев). Очевидно, и для развития математических способностей существуют оптимальные периоды.

4. Успешность деятельности зависит от комплекса способностей. Равно и успешность математической деятельности зависит не от отдельно взятой способности, а от комплекса способностей.

5. Высокие достижения в одной и той же деятельности могут быть обусловлены различным сочетанием способностей. Поэтому принципиально можно говорить о различных типах способностей, в том числе и математических.

6. Возможна в широких пределах компенсация одних способностей другими, вследствие чего относительная слабость какой-нибудь одной способности компенсируется другой способностью, что в итоге не исключает возможности успешного выполнения соответствующей деятельности. А. Г. Ковалев и В. Н. Мясищев понимают компенсацию шире – говорят о возможности компенсации недостающей способности умением, характерологическими качествами (терпением, настойчивостью). По-видимому, компенсация того и другого вида может иметь место и в области математических способностей.

7. Сложным и не до конца решенным в психологии является вопрос о соотношении общей и специальной одаренности. Б. М. Теплов склонен был отрицать само понятие общей одаренности, безотносительной к конкретной деятельности. Понятия «способность» и «одаренность» по Б. М. Теплову имеют смысл только в соотношении с конкретными исторически развивающимися формами общественно-трудовой деятельности. Следует, по его мнению говорить о другом, о более общих и более специальных моментах в одаренности. С. Л. Рубинштейн справедливо отметил, что не следует противопоставлять друг другу общую и специальную одаренность – наличие специальных способностей накладывает определенный отпечаток на общую одаренность, а наличие общей одаренности сказывается на характере специальных способностей. Б. Г. Ананьев указал на то, что следует различать общее развитие и специальное развитие и соответственно общие и специальные способности. Каждое из этих понятий правомерно, обе соответствующие категории взаимосвязаны. Б. Г. Ананьев подчеркивает роль общего развития в становлении специальных способностей.

Исследование математических способностей в зарубежной психологии.

В исследование математических способностей внесли свой вклад и такие яркие представители определенных направлений в психологии, как А. Бинэ, Э. Трондайк и Г. Ревеш, и такие выдающиеся математики, как А. Пуанкаре и Ж. Адамар.

Большое разнообразие направлений определило и большое разнообразие в подходе к исследованию математических способностей, в методических средствах и теоретических обобщениях.

Единственное, в чем сходятся все исследователи, это, пожалуй, мнение о том, что следует различать обычные, «школьные» способности к усвоению математических знаний, к их репродуцированию и самостоятельному применению и творческие математические способности, связанные с самостоятельным созданием оригинального и имеющего общественную ценность продукта.

Большое единство взглядов проявляют зарубежные исследователи по вопросу о врожденности или приобретенности математических способностей . Если и здесь различать два разных аспекта этих способностей – «школьные» и творческие способности, то в отношении вторых существует полное единство – творческие способности ученого-математика являются врожденным образованием, благоприятная среда необходима только для их проявления и развития. В отношении «школьных» (учебных) способностей зарубежные психологи высказываются не столь единодушно. Здесь, пожалуй, доминирует теория параллельного действия двух факторов – биологического потенциала и среды.

Основным вопросом в исследовании математических способностей (как учебных, так и творческих) за рубежом был и остается вопрос о сущности этого сложного психологического образования . В этом плане можно выделить три важные проблемы.

1. Проблема специфичности математических способностей . Существуют ли собственно математические способности как специфическое образование, отличное от категории общего интеллекта? Или математические способности есть качественная специализация общих психических процессов и свойств личности, то есть общие интеллектуальные способности, развитые применительно к математической деятельности? Иначе говоря, можно ли утверждать, что математическая одаренность – это не что иное, как общий интеллект плюс интерес к математике и склонность заниматься ею?

2. Проблема структурности математических способностей. Является ли математическая одаренность унитарным (единым неразложимым) или интегральным (сложным) свойством? В последнем случае можно ставить вопрос о структуре математических способностей, о компонентах этого сложного психического образования.

3. Проблема типологических различий в математических способностях. Существуют ли различные типы математической одаренности или при одной и той же основе имеют место различия только в интересах и склонностях к тем или иным разделам математики?

Исследование проблемы способностей в отечественной психологии.

Основным положением отечественной психологии в этом вопросе является положение о решающем значении социальных факторов в развитии способностей, ведущей роли социального опыта человека, условий его жизни и деятельности. Психические особенности не могут быть врожденными. Это целиком относится и к способностям. Способности всегда результат развития. Они формируются и развиваются в жизни, в процессе деятельности, в процессе обучения и воспитания.

Итак, решающую и определяющую роль играют общественный опыт, социальное воздействие, воспитание. Ну а какова же роль прирожденных способностей?

Конечно, трудно определить в каждом конкретном случае относительную роль врожденного и приобретенного, так как и то и другое слито, неразличимо. Но принципиальное решение этого вопроса в отечественной психологии таково: врожденными способности быть не могут, врожденными могут быть только задатки способностей – некоторые анатомо-физиологические особенности мозга и нервной системы, с которыми человек появляется на свет.

Но какова роль в развитии способностей этих врожденных биологических факторов?

Как отмечал С. Л. Рубинштейн, способности не предопределены, но и не могут быть просто насаждены извне. В индивидах должны существовать предпосылки, внутренние условия для развития способностей. А. Н. Леонтьев, А. Р. Лурия также говорят о необходимых внутренних условиях, делающих возможным возникновение способностей.

Способности не заключены в задатках. В онтогенезе они не проявляются, а формируются. Задаток не потенциальная способность (а способность не задаток в развитии), так как анатомо-физиологическая особенность ни при каких условиях не может развиваться в психическую особенность.

Несколько иное понимание задатков дается в работах А. Г. Ковалева и В. Н. Мясищева. Под задатками они понимают психофизиологические свойства, в первую очередь те, которые обнаруживаются в самой ранней фазе овладении той или иной деятельностью (например, хорошее цветоразличение, зрительная память). Другими словами, задатки – это первичная природная способность, еще не развитая, но дающая себя знать при первых пробах деятельности.

Однако и при таком понимании задатков сохраняется основное положение: способности в собственном смысле слова формируются в деятельности, являются прижизненным образованием.

Естественно, все вышесказанное можно отнести и к вопросу о математических способностях, как виду общих способностей.

Математические способности и их природные предпосылки (работы Б. М. Теплова).

Хотя математические способности и не были предметом специального рассмотрения в трудах Б. М. Теплова, однако ответы на многие вопросы, связанные с их изучением, можно найти в его работах, посвященных проблемам способностей. Среди них особое место занимают две монографические работы - "Психология музыкальных способностей" и "Ум полководца", ставшие классическими образцами психологического изучения способностей и вобравшими в себя универсальные принципы подхода к этой проблеме, которые возможно и необходимо использовать при изучении любых видов способностей.

В обеих работах Б. М. Теплов не только дает блестящий психологический анализ конкретных видов деятельности, но и на примерах выдающихся представителей музыкального и военного искусства раскрывает необходимые составляющие, из которых складываются яркие таланты в этих областях. Особое внимание Б. М. Теплов уделил вопросу о соотношении общих и специальных способностей, доказывая, что успех в любом виде деятельности, в том числе в музыке и военном деле, зависит не только от специальных компонентов (например, в музыке - слух, чувство ритма), но и от общих особенностей внимания, памяти, интеллекта. При этом общие умственные способности неразрывно связаны со специальными способностями и существенно влияют на уровень развития последних.

Наиболее ярко роль общих способностей продемонстрирована в работе "Ум полководца". Остановимся на рассмотрении основных положений этой работы, поскольку они могут быть использованы при изучении других видов способностей, связанных с мыслительной деятельностью, в том числе и математических способностей. Проведя глубокое изучение деятельности полководца, Б. М. Теплов показал, какое место в ней занимают интеллектуальные функции. Они обеспечивают анализ сложных военных ситуаций, выявление отдельных существенных деталей, способных повлиять на исход предстоящих сражений. Именно способность к анализу обеспечивает первый необходимый этап в принятии верного решения, в составлении плана сражения. Вслед за аналитической работой наступает этап синтеза, позволяющего объединить в единое целое многообразие деталей. По мнению Б. М. Теплова, деятельность полководца требует равновесия процессов анализа и синтеза, при обязательном высоком уровне их развития.

Важное место в интеллектуальной деятельности полководца занимает память. Она очень избирательна, то есть удерживает прежде всего необходимые, существенные детали. В качестве классического примера такой памяти Б. М. Теплов приводит высказывания о памяти Наполеона, который помнил буквально все, что имело непосредственное отношение к его военной деятельности, начиная от номеров частей и кончая лицами солдат. При этом Наполеон был неспособен запоминать бессмысленный материал, но обладал важной особенностью мгновенно усваивать то, что подчинялось классификации, определенному логическому закону.

Б. М. Теплов приходит к выводу, что "умение находить и выделять существенное и постоянная систематизация материала - вот важнейшие условия, обеспечивающие единство анализа и синтеза, то равновесие между этими сторонами мыслительной деятельности, которые отличают работу ума хорошего полководца" (Б. М. Теплов 1985, стр.249). Наряду с выдающимся умом полководец должен обладать определенными личностными качествами. Это прежде всего мужество, решительность, энергия, то есть то, что применительно к полководческой деятельности принято обозначать понятием "воля". Не менее важным личностным качеством является стрессоустойчивость. Эмоциональность талантливого полководца проявляется в сочетании эмоции боевого возбуждения и умении собраться, сосредоточиться.

Особое место в интеллектуальной деятельности полководца Б. М. Теплов отводил наличию такого качества, как интуиция. Он анализировал это качество ума полководца, сравнивая его с интуицией ученого. Между ними существует много общего. Основное же отличие, по мнению Б. М. Теплова, состоит в необходимости для полководца принятия срочного решения, от которого может зависеть успех операции, в то время как ученый не ограничен временными рамками. Но и в том и другом случае "озарению" должен предшествовать упорный труд, на основе которого и может быть принято единственно верное решение проблемы.

Подтверждения положениям, проанализированным и обобщенным Б. М. Тепловым с психологических позиций, можно обнаружить в работах многих выдающихся ученых, в том числе и математиков. Так, в психологическом этюде "Математическое творчество" Анри Пуанкаре подробно описывает ситуацию, при которой ему удалось сделать одно из открытий. Этому предшествовала долгая подготовительная работа, большой удельный вес в которой составлял, по мнению ученого, процесс бессознательного. За этапом "озарения" необходимо следовал второй этап - тщательной сознательной работы по приведению в порядок доказательства и его проверке. А. Пуанкаре пришел к выводу, что важнейшее место в математических способностях занимает умение логически выстроить цепь операций, которые приведут к решению задачи. Казалось бы, это должно быть доступно любому способному логически мыслить человеку. Однако далеко не каждый оказывается способным оперировать математическими символами с той же легкостью, что и при решении логических задач.

Для математика недостаточно иметь хорошую память и внимание. По мнению Пуанкаре, людей, способных к математике, отличает умение уловить порядок, в котором должны быть расположены элементы, необходимые для математического доказательства. Наличие интуиции такого рода - есть основной элемент математического творчества. Одни люди не владеют этим тонким чувством и не обладают сильной памятью и вниманием и поэтому не способны понимать математику. Другие обладают слабой интуицией, но одарены хорошей памятью и способностью к напряженному вниманию и потому могут понимать и применять математику. Третьи владеют такой особой интуицией и даже при отсутствии отличной памяти могут не только понимать математику, но и делать математические открытия (Пуанкаре А., 1909).

Здесь речь идет о математическом творчестве, доступном немногим. Но, как писал Ж. Адамар, "между работой ученика, решающего задачу по алгебре или геометрии, и творческой работой разница лишь в уровне, в качестве, так как обе работы аналогичного характера" (Адамар Ж., стр.98). Для того чтобы понять, какие качества еще требуются для достижения успехов в математике, исследователями анализировалась математическая деятельность: процесс решения задач, способы доказательств, логических рассуждений, особенности математической памяти. Этот анализ привел к созданию различных вариантов структур математических способностей, сложных по своему компонентному составу. При этом мнения большинства исследователей сходились в одном - что нет и не может быть единственной ярко выраженной математической способности - это совокупная характеристика, в которой отражаются особенности разных психических процессов: восприятия, мышления, памяти, воображения.

Среди наиболее важных компонентов математических способностей выделяются специфическая способность к обобщению математического материала, способность к пространственным представлениям, способность к отвлеченному мышлению. Некоторые исследователи выделяют также в качестве самостоятельного компонента математических способностей математическую память на схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним. Советский психолог, исследовавший математические способности у школьников, В. А. Крутецкий дает следующее определение математическим способностям: "Под способностями к изучению математики мы понимаем индивидуально-психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обусловливающие на прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики" (Крутецкий В.А.,1968).

Исследование математических способностей включает в себя и решение одной из важнейших проблем - поиска природных предпосылок, или задатков, данного вида способностей. К задаткам относятся врожденные анатомо-физиологические особенности индивида, которые рассматриваются как благоприятные условия для развития способностей. Долгое время задатки рассматривались как фактор, фатально предопределяющий уровень и направление развития способностей. Классики отечественной психологии Б. М. Теплов и С. Л. Рубинштейн научно доказали неправомерность такого понимания задатков и показали, что источником развития способностей является тесное взаимодействие внешних и внутренних условий. Выраженность того или иного физиологического качества ни в коей мере не свидетельствует об обязательном развитии конкретного вида способностей. Оно может являться лишь благоприятным условием для этого развития. Типологические свойства, входящие в состав задатков и являющиеся важной их составляющей, отражают такие индивидуальные особенности функционирования организма, как предел работоспособности, скоростные характеристики нервного реагирования, способность перестройки реакции в ответ на изменение внешних воздействий.

Свойства нервной системы, тесно связанные со свойствами темперамента, в свою очередь, влияют на проявление характерологических особенностей личности (В. С. Мерлин, 1986). Б. Г. Ананьев, развивая представления об общей природной основе развития характера и способностей, указывал на формирование в процессе деятельности связей способностей и характера, приводящих к новым психическим образованиям, обозначаемым терминами "талант" и "призвание" (Ананьев Б.Г., 1980). Таким образом, темперамент, способности и характер образуют как бы цепь взаимосвязанных подструктур в структуре личности и индивидуальности, имеющих единую природную основу (Э. А. Голубева 1993).

Общая схема структуры математических способностей в школьном возрасте по В. А. Крутецкому.

Собранный В. А. Крутецким материал позволил ему выстроить общую схему структуры математических способностей в школьном возрасте.

1. Получение математической информации.

1) Способность к формализованному восприятию математического материала, схватыванию формальной структуры задачи.

2. Переработка математической информации.

1) Способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики. Способность мыслить математическими символами.

2) Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий.

3) Способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами.

4) Гибкость мыслительных процессов в математической деятельности.

5) Стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений.

6) Способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключению с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении).

3. Хранение математической информации.

1) Математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним).

4. Общий синтетический компонент.

1) Математическая направленность ума.

Выделенные компоненты тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей совокупности единую систему, целостную структуру, своеобразный синдром математической одаренности, математический склад ума.

Не входят в структуру математической одаренности те компоненты, наличие которых в этой системе не обязательно (хотя и полезно). В этом смысле они являются нейтральными по отношению к математической одаренности. Однако их наличие или отсутствие в структуре (точнее, степень их развития) определяют тип математического склада ума. Не являются обязательными в структуре математической одаренности следующие компоненты:

1. Быстрота мыслительных процессов как временная характеристика.

2. Вычислительные способности (способности к быстрым и точным вычислениям, часто в уме).

3. Память на цифры, числа, формулы.

4. Способность к пространственным представлениям.

5. Способность наглядно представить абстрактные математические отношения и зависимости.

Заключение.

Проблема математических способностей в психологии представляет обширное поле действия для исследователя. В силу противоречий между различными течениями в психологии, а также внутри самих течений, пока не может быть и речи о точном и строгом понимании содержания этого понятия.

Рассмотренные в данной работе книги подтверждают это заключение. Вместе с тем следует отметить неугасающий интерес к этой проблеме во всех течениях психологии, что подтверждает следующий вывод.

Практическая ценность исследований по этой теме очевидна: математическое образование играет ведущую роль в большинстве образовательных систем, а оно, в свою очередь, станет более эффективным после научного обоснования его основы – теории математических способностей.

Итак, как утверждал В. А. Крутецкий: «Задача всестороннего и гармонического развития личности человека делает совершенно необходимой глубокую научную разработку проблемы способности людей к тем или иным видам деятельности. Разработка этой проблемы представляет как теоретический, так и практический интерес».

Список литературы:

Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М., 1970.
Ананьев Б.Г. Избранные труды: В 2-х томах. М., 1980.
Голубева Э.А., Гусева Е.П., Пасынкова А.В., Максимова Н.Е., Максименко В.И. Биоэлектрические корреляты памяти и успеваемости у старших школьников. Вопросы психологии, 1974, № 5.
Голубева Э.А. Способности и индивидуальность. М., 1993.
Кадыров Б.Р. Уровень активации и некоторые динамические характеристики психической активности.
Дис. канд. психол. наук. М., 1990.
Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М., 1968.
Мерлин В.С. Очерк интегрального исследования индивидуальности. М., 1986.
Печенков В.В. Проблема соотношения общих и специально человеческих типов в.н.д. и их психологических проявлений. В книге "Способности и склонности", М., 1989.
Пуанкаре А. Математическое творчество. М., 1909.
Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии: В 2-х т. М., 1989.
Теплов Б.М. Избранные труды: В 2-х томах. М., 1985.

Общая структура математических способностей (по В.А. Крутецкому)

В этом параграфе представлена общая структура математических способностей в школьном возрасте по В.А. Крутецкому. Она рассматривается исходя из основных этапов решения задач: I. получение математической информации; II. переработка математической информации; III. хранение математической информации. Каждому из этапов I - III соответствует одна или несколько математических способностей. Приведем описание каждой математической способности с выделением действий, которые присущи каждой способности и описание протоколов решения задач способными и неспособными учениками, описанные Вадимом Андреевичем Крутецким в книге .

Способности, необходимые для получения математической информации

Способность к формализованному восприятию математического материала, схватывания формальной структуры задачи

Характеристика способности. Эта математическая способность проявляется в стремлении к своеобразной формализации структуры математического материала в процессе его восприятия. Под формализацией понимается быстрое «схватывание» в конкретной задаче, в математическом выражении их формальной структуры, когда все содержательное (числовые данные, конкретное содержание) словно выпадает и остаются чистые соотношения между показателями, характеризующие принадлежность задачи или математического выражения к определенному типу. Формализованное восприятия - это своего рода обобщенное восприятие функциональных связей, отдельных от предметной и числовой формы, когда в конкретном воспринимается его общая структура.

выделять различные элементы в математическом материале задачи;

давать элементам математического материала задачи различную оценку;

систематизировать элементы математического материала задачи;

объединять элементы математического материала задачи в комплексы;

отыскивать отношения и функциональные зависимости элементов математического материала задачи.

Первые три действия направлены на восприятия математического материала задачи аналитически, другие же направлены на синтетическое восприятие математического материала задачи.

Особенности выполнения I этапа решения задач учащимися, обладающие этой способностью. Для выяснения особенности восприятия математического материала В.А. Крутецкий используется серия «Системы однотипных задач». Эта серия рассчитана на учащихся, еще незнакомых с формулами сокращенного умножения. Исследовалось, как учащиеся могут выделить основное, главное, существенное с точки зрения типа задачи, отвлечься от несущественного, второстепенного, от деталей. При помощи этой серии исследуется также процесс обобщения - подведение объектов под только что, сформировавшееся в своей основе понятия.

Рассмотрим решение одного из тестов серии «Системы однотипных задач» направленного на выяснения овладения этой способностью способными к математике и неспособными к математике учащимися. Серия представляет собой своеобразную «лестницу задач» одного и того же типа, от наиболее простой к весьма сложной. Выясняется, как сумеет испытуемый доказать, что данная задача, несмотря на ее внешнее отличие, принадлежит к тому же самому типу, и как, учитывая конкретные особенности задачи, он собирается решать ее по общей схеме решения задач установленного им типа.

Приведем наглядный пример, как справлялись с одной из задач этой серией способные к математике ученики и неспособные.

Способные ученики при решении задачи на применение формулу сокращенного умножения (a+b)2. Они легко выделяют существенные для данного типа моменты (сумма двух алгебраических выражений в квадрате), равно как и несущественные для данного типа (конкретная величина и характер алгебраических выражений, составляющие число a и b). Другими словами имела место своеобразная формализация структуры задачи при ее восприятии, когда задача (например, 6ах+1/2by)2 «схватывалась в такой форме: (+)2=.

Неспособные же учащиеся узкоограниченно представляли себе «первое» и «второе» число в этой формуле, им было трудно понять, что a и b обозначают любую величину и любое алгебраическое выражение. Поэтому они и не улавливали самостоятельно структурного «костяка» задачи.

Способности, необходимые для переработки математической информации

Способность к логическому рассуждению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики

Характеристика способности. Одной из особенности математики является алгоритмичность решения многих задач. Алгоритмом, как известно, называется определенное указание относительно того, какие операции и в какой последовательности надо выполнить, чтобы решить любую задачу некоторого типа. Алгоритм представляет собой обобщение, так как применим ко всем задачам соответствующего типа. Конечно, очень большое количество задач не алгоритмизируется и решается с помощью специальных, особых приемов. Поэтому способность находить пути решения, не подходящие под стандартное правило, является одной из существенных особенностей математического мышления.

Действия, представленные за данной способностью. При наличии данной математической способности школьники выполняют следующие действия:

логически рассуждают (доказывать, обосновывать);

оперируют специальными математическими знаками, условными символическими обозначениями количественных величин и отношений и пространственных свойств;

переводят на язык символов.

Особенности выполнения II этапа решения задач учащимися, обладающими данной способностью. Для выяснения этой способности применяется серия «Задачи на доказательство». Серия представляет собой систему однотипных задач, все усложняющихся доказательств.

Для примера возьмем решения задачи способным и неспособным учеником.

Вот как решал задачу способный ученик: «Доказать, что сумма любых трех последовательных чисел делится на 3 (при любом целом значении а)». Последовательные числа - это такие числа, когда каждое из последующих на единицу больше предыдущего, так кажется? Как же тут доказать? 2, 3 и 4 в сумме действительно делятся на 3; 12, 13, 14 тоже в сумме дают 39. Можно доказать так: сумма трех одинаковых чисел, разумеется, делится на 3. Да еще прибавляются 3 единицы (второе число на единицу, а третье - на две единицы больше первого), которые тоже делятся на 3. Можно и алгебраически доказать: х+(х+1)+(х+2)=3х+3=3(х+1). Последнее выражение всегда можно разделить на 3, каково бы ни было исходное число х.

Вот как справляется с подобной задачей неспособный ученик.

Задача. Задумайте любое число, умножьте его на число, больше задуманного на 6 и прибавить 9. Доказать, что полученный результат является квадратом.

Уч.: А что значит «является квадратом? Квадратом какого числа?

Эксп.: Есть числа, которые не являются квадратом какого-либо числа, например 13 или 20. А есть числа, которые являются результатом возведения в квадрат какого-либо числа, например 9 (т.е.3).

Уч.: Понятно. А здесь как доказывать?

Эксп.: Подумай. Примени, способ алгебраического доказательства. Сказано: «Задумайте любое число». Как в алгебре обозначается «любое число»?

Уч.: А теперь знаю: х(х+6)+9=х2+6х+9. Вот х2 и есть квадрат задуманного числа.

Эксп.: Ты взял только часть результата. А тебе нужно доказать, что весь полученный результат есть квадрат какого-то числа. Квадратом какого выражения является полученный тобой результат? Вспомни формулы сокращенного умножения?

Уч.: Знаю. Получится (х+3)2. (дает ответ не сразу).

Эксп.: Но всегда ли в результате получится квадрат?

Уч.: Не знаю.

Лишь после продолжительного разъяснения экспериментатора ответил: «По-моему, всегда, так как мы брали любое число».

Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов

Характеристика способности. Способность к обобщению математического материала рассматривается в двух планах: 1) как способность человека увидеть в частном, конкретном уже известном ему общее (подведение частного случая под известное общее понятие) и 2) способность увидеть в единичном, частном пока еще неизвестное общее (вывести общее из частных случаев, образовать понятие). Одно дело - увидеть возможность применение к данному частному случаю уже известной ученику формулы, другое - на основание частных случаев вывести формулу, еще неизвестную ученику.

Действия, представленные за данной способностью. При наличии данной математической способности школьники выполняют следующие действия:

видят сходную ситуацию в сфере числовой и знаковой символики (где применить);

владеют обобщенным типом решения, обобщенной схемой доказательства, рассуждения (что применить).

И в том и другом случае необходимо отвлечься от конкретного содержания и выделить сходное, общее и существенное в структурах объектов, отношений или действий.

Особенности выполнения II этапа решения задач учащимися, обладающими данной способностью. На выявление этой способности В.А. Крутецкий предлагает серию задач, которая уже использовалась для проверки математической способности - способность к формализованному восприятию математического материала.

Приведем пример решения одной из задачи этой серии. После решения примера на применение формулы «квадрат суммы» дается способному ученику для решения пример: (C+D+E)(E+C+D). Ученик применяет формулу и пишет (C+D+E)2 и соединяет два члена - (C+(D+E))2 после чего непосредственно применяет формулу и раскрывает скобки.

Неспособные к математике ученик, усвоив формулу (a+b)2 и принцип рассуждения приступает к решению примера (1+а3b2)2.

Эксп.: А вот этот пример можно решить по формуле сокращенного умножения?.

Уч.: Здесь что-то другое - и a и b справа и не разделяются плюсом… (пишет: ». Эксп.: «Куда же делась единица?. Ученик молчит.

Эксп.: Ну а реши такой пример: (2x+y)2.

Ученик пишет, повторяя вслух формулу: 4x2+22xy+y2=4x2+4x+y2.

Эксп.: Верно. Вот так же решай и предыдущую задачу.

Уч.: А здесь что-то другое… квадрат первого - это.

Эксп.: Давай рассуждать вместе. Чтобы применить формулу, надо убедиться, что мы имеем дело с квадратом суммы двух чисел. Тебе ясно, что это квадрат?

Уч.: Вот здесь (показывает) цифра 2 показывает, что-то, что в скобках, надо помножить само на себя.

Эксп.: Верно. А в скобках двучлен? Покажи, где первый член, первое «число».

Уч.: …или нет, что я говорю… между членами должен быть знак плюс. Тут нет первого члена, только второй.

В дальнейшем ученик все же решает данный пример с помощью экспериментатора.

Способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами

Характеристика способности. Наряду с развернутыми умозаключениями в умственной деятельности школьников при решении задач занимает определенное место и свернутые умозаключения, когда ученик не осознает правила, общего положения, в соответствии с которыми он фактически действует.

Действия, представленные за данной способностью. При наличии данной математической способности школьники выполняют действие - свертывание умозаключений.

То есть в процессе решения задач ученик не выполняет всей той цепи соображений и умозаключений, которые образуют полную, развернутую структуру решения.

Особенности выполнения II этапа решения задач учащимися, обладающими данной способностью. На выявление этой способности применяется серия «Система разнотипных задач». Приведем пример как способный ученик решал одну из задач этой серии.

Задача. Автомобиль прошел путь из А в Б со скоростью 20 км в час, а обратно со скоростью 30 км в час. Какова средняя скорость автомобиля за весь рейс?

Уч.: Ясно, что со скоростью 30 км в час он шел меньше времени, чем со скоростью 20 км в час (при одинаковом пути). А раз так, то средняя скорость не будет равна 25 км в час. Как же решить? (Дальнейший ход решения разбиваем на отдельные звенья.) Буду решать по рассуждению.

Скорость - это результат от деления пути на время. Значит, надо знать общий путь и общее время, затраченное на весь путь, и поделить общий путь на общее время.

Теперь ясно, как решить. Надо узнать весь пройденный путь. Если путь в один конец обозначим через х, то весь путь - 2х.

Теперь надо узнать время. Оно различно. Чтобы узнать время, надо поделить путь на скорость.

На путь туда потратили

А на путь обратно потрачено

А всего весь путь занял, значит, =

Делим теперь общий путь на общее количество часов:

2х: км в час.

Что касается неспособных, то у них не замечалось сколько-нибудь заметного свертывания даже в результате многих упражнений. На первых этапах овладения они постоянно путаются в громоздкой цепи умозаключений, которая с трудом, с помощью экспериментатора, закрепляется, постепенно превращается в относительно стройную систему. Ни о каком свертывании на этих этапах не может быть и речи, так как сам процесс рассуждения еще находится на стадии становления. Да и в дальнейшем они нуждались лишь в полном составе рассуждений.

Гибкость мыслительных процессов в математической деятельности

Характеристика способности. Эта математическая способность выражается в легком и свободном переключении с одной умственной операции на другую, в многообразие аспектов подходов к решению задач, в легкости перестройки сложившихся схем мышления и систем действий.

Действия, представленные за данной способностью. При наличии данной математической способности школьники выполняют следующие действие - переключаются на новый способ действия, т.е. с одной умственной операции на другую.

Особенности выполнения II этапа решения задач учащимися, обладающими данной способностью. На эту способность направлены серия тестов «Задачи, наталкивающие на «самоограничение»». В эту серию отобраны задачи на рассуждение, отличающиеся следующими способностями: либо их условие обычно воспринимается с ограничением, которого в действительности не существует, либо в процессе решения решающий невольно ограничивает себя некоторыми возможностями, неправомерно исключая друг друга. В том и другом случае непроизвольное ограничение приводит к мысли о невозможности решения задачи.

Способный ученик решает задачу «В прямоугольном треугольнике один катет 7 см. Определить две другие стороны, если они выражены целыми числами».

«Построить треугольник по одной стороне? Что-то странное…Правда, еще угол дан - прямой, но все равно нельзя… (чертит). Ну, вот же видно - сторона и угол постоянны, а вот сколько разных треугольников. Может быть, задача не решается? (Эксп.: Нет. Задача решается».) Странно… (чертит) Ну вот же ясно видно, что бесконечное количество решений (еще чертит). Что-то я не столько решаю, сколько пытаюсь доказать, что она не решается... Может быть, вариантов-то много, но все они выражаются дробными числами (еще раз читает условие). Может быть только один случай, когда выражаются целыми числами? Наверное, так - в условии об этом не говориться, но можно понять…Но тогда это надо доказать… Если гипотенуза а, а неизвестный катет b, то a2=49+b2 по Пифагору, а 49=a2-b2…Ну и что дальше? a+b=49/a-b. Чувствую, что это что-то даст…Если a и b - целые числа, то и их сумма - целое число…Ну вот, ясно все: значит, 49 делится на a-b без остатка. А 49 делится только на 7…Но a-b не может быть равно 7, так как тогда и треугольника не будет (гипотенуза в точности равна двум катетам - две стороны равны третий)…Где-то тут есть решение, я его упустил… Но ведь 49 делится не только 7, а и на 1, и на 49. Ну вот теперь решение в кармане: 49 тоже не может быть - гипотенуза будет больше, чем сумма катетов. Остается одно: a-b=1, a a+b=49. Получится 25 см. гипотенуза и 24 см катет».

Неспособных учеников отличает инертность, косность, скованность мысли в сфере математических отношений и действий, устойчивый, стереотипный характер действий, навязчивое удерживание в сознании предшествующего принципа решений, способа действий, оказывающего тормозящее влияние при необходимости перестроить действие, что определяет ярко выраженную затрудненность и переключении от одной умственной операции к другой, качественно иной.

Стремления к ясности, простоте решения, экономности и рациональности решения

Характеристика способности. Эта особенность математического мышления способных к математике учащихся тесно связана с предыдущей. Для способных учеников весьма характерно стремление к наиболее рациональным решениям задач, поиски наиболее ясного, кратчайшего, а, следовательно, и наиболее «изящного» пути к цели. Это выглядит как своеобразная тенденция к экономии мысли, выражающееся в поисках наиболее экономных путей решения задач.

Действия, представленные за данной способностью. При наличии данной математической способности школьники выполняют следующие действие - находят наиболее рациональное решение задачи.

Особенности выполнения II этапа решения задач учащимися, обладающими данной способностью. Эту способность Вадим Андреевич выяснял при помощи «Задачи на соображение логическое рассуждение». Для этого он сопоставлял реальный процесс рассуждения школьника с максимально развернутым. Сравнивал количество и характер «звеньев» в том и другом случае, они сопоставляются с характером и количеством звеньев действительно развернутой структуры.

Например, способный ученик решал задачу: «Найти наименьшее число, которое при деление на 3 дает остаток 1, при делении на 4 дает остаток 2, при делении на 5 дает в остатке 3 и при делении на 6 дает в остатке 4» Способный ученик прежде всего нашел наименьшее общее кратное данных чисел (60) и произнес: «60-2=58. Это число 58». По просьбе экспериментатора пояснил: «Я представил все числа и остатки столбиком и сразу увидел, что во всех случаях разница между делителем и остатком - 2. Значит, если добавить к искомому числу 2, то оно разделится на все числа без остатка. Наименьшее из таких чисел - 60. Но теперь уберем двойку - будем 58».

Неспособные учащиеся не обращают особого внимания на качество решения. Они прекращают работу после над задачей и не задаются вопросом: «А нельзя ли решить проще, яснее?».

Способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключению с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении)

Характеристика способности. Под обратимостью мыслительного процесса понимается перестройка его направленности в смысле переключения с прямого на обратный ход мысли. Это понятие объединяет два разных, хотя и связанных друг с другом процесса.

Во-первых, это установление двухсторонних (или обратимых) ассоциаций (связей) АБ в противоположность односторонним связям типа АБ, функционирующим только в одном направлении.

Во-вторых, это обратимость мыслительного процесса в рассуждении, обратное направление мысли от результата, продукта к исходным данным, что имеет место, например, при переходе от прямой к обратной теореме.

Действия, представленные за данной способностью. При наличии данной математической способности школьники выполняют следующие действие - перестраивать мыслительный процесс с прямого на обратный ход мыслей.

Особенности выполнения II этапа решения задач учащимися, обладающими данной способностью. Для выяснения этой способности В.А. Крутецкий предлагал серию задач «Прямые и обратные задачи». В этой серии включены парные задачи - прямая и обратная. Обратными задачами условно называются те, которые по сравнению с исходными (прямыми) задачами при сохранении сюжета искомое входит в состав условия, а один или несколько элементов условия становятся искомыми.

Приведем пример как способные, и неспособные учащиеся решали эти задачи:

Способный ученик овладел типом решения по формуле «произведения суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел».

Ему предлагается разложить на множители выражение (x-y)2-25y8. Он тут говорит, что эта задача наоборот и тут уже есть разность квадратов и записывает выражение (x-y+5y4) (x-y-5y4). Свое решение он объясняет, что нужно подумать из чего получились квадраты и взять сумму этих чисел и помножить на разность.

Неспособный ученик с трудом, после большого количества упражнений, овладел способом решения задач по этой формуле.

Эксп.: Реши задачу 55=(ученик дает верный ответ). А теперь реши такую: какие числа надо перемножить, чтобы получить 25 (ученик дает верный ответ). Теперь смотри 55=25, а 25=55. Вторая задача обратная первой. Реши задачу (2x+y)(2x-y)= (ученик дает верный ответ). Правильно. Но если (2x+y)(2x-y)=4x2-4y2, то наоборот можно ли сказать, что 4x2-4y2= (2x+y)(2x-y)? (Ученик дает утвердительный ответ). А 9x2-4y2 чему равняется?

Уч.: Не знаю. Это какие-то чудные задачи. Мы такие не решали.

Эксп.: Да, не решали, но учимся решать. Вот ты подумай: чему равно произведение суммы двух чисел на их разность? Это ты знаешь.

Уч.: Произведение суммы двух чисел на их разность равняется квадрату первого минус квадрат второго.

Эксп.: Верно. А обратно можно сказать? Чему равна разность квадратов? Чему равно a2-b2?.

Уч.: a2-b2=(a+b)(a-b).

Эксп.: А 9x2-4y2 чему равно?

Уч.: (9x+4y)(9x-4y)…

Дальнейший ход беседы опускаем. Лишь после многократных пояснений и упражнений ученик научился решать задачи этого типа, да и только простейшие.

Способности, необходимые для хранения математической информации

Математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним)

Характеристика способности. Сущность математической памяти заключается в обобщенном запоминании типовых схем рассуждений и действий. Что же касается памяти на конкретные данные, числовые параметры, то она «нейтральна» по отношению к математическим способностям.

Действия, представленные за данной способностью. При наличии данной математической способности школьники выполняют следующие действия:

запоминают типовые признаки задач и обобщенные способы их решения, схемы рассуждений, основные линии доказательств, логические схемы;

сохраняют в памяти типовые признаки задач и обобщенные способы их решения, схемы рассуждений, основные линии доказательств, логические схемы.

Особенности выполнения III этапа решения задач учащимися, обладающими данной способностью. Способные ученики в большинстве случаев довольно долго помнят тип решенной ими в свое время задачи, общий характер действий, но не помнят конкретных данных задачи, чисел. Неспособные, наоборот, помнят только конкретные числовые данные или конкретные факты, относящиеся к задаче. Если неспособный помнит, что решал «какую-то задачу с клетками и кроликами», или «что-то про рыбу, которая весит 2 пуда», то способный обычно гораздо чаще помнит тип задачи: «Решал задачу на различные сочетания частей целого - про рыбу, у которой хвост с головой весит столько-то, а голова с туловищем - столько-то, и хвост с туловищем - еще столько-то».

Выделенные способности тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей совокупности единую систему, целостную структуру, своеобразный синдром математической одаренности, математический склад ума.

Не входят в структуру математической одаренности те способности, наличие которых в этой системе не обязательно (хотя и полезно). В этом смысле они являются нейтральными по отношению к математической одаренности. Однако их наличие или отсутствие в структуре (точнее, степень их развития) определяют тип математического склада ума. Не являются обязательными в структуре математической одаренности следующие компоненты:

Быстрота мыслительных процессов как временная характеристика.

Вычислительные способности (способности к быстрым и точным вычислениям, часто в уме).

Память на цифры, числа, формулы.

Способность к пространственным представлениям.

Способность наглядно представить абстрактные математические отношения и зависимости.